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Big O Notation: Analyse der Algorithmenkomplexität
Seit den Anfängen der Informationstechnologie haben Entwickler versucht, Code zu schreiben, der nicht nur funktioniert, sondern auch die Hardware effizient nutzt. In den alten Zeiten, als Prozessoren noch teuer und langsam waren und der Speicher knapp war, wurde viel optimiert und es kam buchstäblich auf jede Maschinenanweisung an. Auch beim Umgang mit großen Datenmengen mussten die Algorithmen sehr ausgeklügelt sein, da die Rechenzeit weitgehend begrenzt war.
Daher ist es notwendig, die Effizienz von Algorithmen zu vergleichen, und hier spielt die Big O-Notation eine wichtige Rolle. In diesem Beitrag werfen wir einen genaueren Blick auf die Analyse der algorithmischen Komplexität mithilfe der Big O-Notation.
Big O Notation – was ist das?
Die BIG O-Notation ist eine mathematische Notation in der Informatik, die zur Beschreibung der asymptotischen Komplexität von Algorithmen verwendet wird, d.h. sie beschreibt das Worst-Case-Szenario (Obergrenze) eines Algorithmus auf der Grundlage der Größe der Eingabedaten. Mit anderen Worten, diese Notation hilft uns zu verstehen, wie sich die Effizienz eines Algorithmus in Abhängigkeit von der Menge der verwendeten Daten ändert.
Eine kurze Geschichte der Einschreibung von BIG O
Ihre theoretischen Grundlagen wurden im frühen zwanzigsten Jahrhundert gelegt, als die Menschen noch nicht einmal von Computeralgorithmen träumten. Aber erst in den 1960er Jahren wurde die Big O-Notation in der Informatik populär und weit verbreitet, vor allem dank Pionieren wie Donald Knuth. Knuth hat die Verwendung dieser Notation in seinem bekannten Werk The Art of Computer Programming (Die Kunst der Computerprogrammierung), das erstmals 1968 veröffentlicht wurde, ausführlich beschrieben und popularisiert. Knuths Arbeit trug wesentlich zur Standardisierung und weiten Verbreitung der Big O-Notation bei der Analyse von Algorithmen und Computerprogrammen bei.
Verwendung und Eigenschaften der BIG O Notation
Die BIG O Notation wird verwendet, um die Effizienz verschiedener Algorithmen theoretisch zu vergleichen. Zum Beispiel. bei der Entscheidung, welcher Sortieralgorithmus in einer bestimmten Situation am besten geeignet ist, sehen wir uns die Notation für die verschiedenen Algorithmen an. Sie hilft uns auch bei der Vorhersage, wie sich der Algorithmus bei wachsenden Mengen an Eingabedaten verhalten wird. Dieses Wissen ist eine Voraussetzung dafür, den Algorithmus zu optimieren und die Ressourcen effizienter zu nutzen. Bei der Lösung komplexer Probleme kann das Wissen über die Komplexität einer großen Anzahl verschiedener Algorithmen zur Auswahl geeigneter Datenstrukturen und Algorithmen führen. Dies hilft uns dabei, effiziente Lösungen für reale Probleme zu entwerfen. Diese Notation wird bei der Analyse der zeitlichen und räumlichen Komplexität von Algorithmen verwendet. Die zeitliche Komplexität haben wir bereits erwähnt. Die räumliche Komplexität wird mit der Notation Big O ausgedrückt, um die Obergrenze der Speichernutzung durch einen Algorithmus zu beschreiben.
Verständnis der BIG O Notation
In der Big-O-Notation steht das „O“ für die Ordnung der Funktion, und 𝑓( 𝑛 ) f(n) beschreibt die zeitliche Komplexität eines Algorithmus in Abhängigkeit von der Eingabegröße 𝑛. Die Schreibweise 𝑂 ( 𝑓 ( 𝑛 ) ) O(f(n)) bedeutet, dass die zeitliche Komplexität des Algorithmus nicht schneller wächst als die angegebene Funktion für die Eingabe 𝑛. Die mathematische Funktion 𝑓( 𝑛 ) f(n) beschreibt somit, wie sich die Laufzeit des Algorithmus mit zunehmender Eingabegröße verändert. Zum Beispiel. Die O(n)-Notation besagt, dass die Ausführungszeit des Algorithmus linear mit der Größe der Eingabe wächst.
BIG O Notation – Beispiele
Wir zeigen nun die häufigsten Arten der Komplexität, wie sie mit der BIG o-Notation geschrieben werden, und ein Beispiel für einen Algorithmus mit einer bestimmten Komplexität in einer übersichtlichen Tabelle.
| BIG O Eintrag | Komplexität | Beispiel für einen Algorithmus |
| O(1) | Konstante | Zugriff auf ein Element in einem Array über einen Index |
| O(log n) | logarithmisch | Binäre Suche in einem sortierten Array |
| O(n) | linear | Lineare Suche über ein ungeordnetes Array |
| O(n log n) | Linearithmische | Effiziente Sortieralgorithmen wie z.B.. mergesort |
| O(n²) | quadratisch | 2 verschachtelte Schleifen, die über die Eingabe iterieren |
| O(2n) | exponentiell | Brute-Force-Algorithmen, die alle Kombinationen testen |
| O(n!) | Faktor | Algorithmus, der alle Permutationen einer Menge erzeugt |
Regeln für die Verwendung der Big O-Notation
Bei der Verwendung der Big O-Notation gibt es ein paar Grundregeln, die helfen, die asymptotische Komplexität von Algorithmen genau und konsistent auszudrücken. Die Big O-Notation kann gleichermaßen für zeitliche und räumliche Komplexität verwendet werden.
Das Ignorieren niedrigerer Ordnungen
Bei der Bestimmung der Big-O-Notation wird nur die höchste Ordnung berücksichtigt. Niedrigere Grade und Konstanten sind vernachlässigbar, da ihr Einfluss bei großen Eingaben unbedeutend wird. Beispiel: Hat ein Algorithmus eine Zeitkomplexität von 𝑓 ( 𝑛 ) = 3 𝑛 2 + 5 𝑛 + 82 f(n)=3n 2 +5n+82, so ist die Komplexität 𝑂 ( 𝑛 2 ) O(n 2 ), da 𝑛 2 n 2 die höchste Ordnung ist.
Konstanten ignorieren
Die konstanten Faktoren sind vernachlässigbar, da sie bei großen Eingaben keinen signifikanten Einfluss auf die Wachstumsfunktion haben. Beispiel: Wenn der Algorithmus die Zeitkomplexität f(n) = 2n hat, ist die Komplexität O(n) .
Gesamt
Wenn der Algorithmus aus mehreren Schritten besteht, die nacheinander ausgeführt werden, wird die Gesamtkomplexität durch die höchste Ordnung zwischen den Schritten bestimmt. Beispiel: Wenn ein Algorithmus zwei Teile mit der Komplexität O(n) und O(n²) hat, ist die Gesamtkomplexität O(n²).
Synopsis
Wenn der Algorithmus verschachtelte Zyklen enthält, ist die Gesamtkomplexität das Produkt aus den Komplexitäten der einzelnen Zyklen. Beispiel: Wenn der äußere Zyklus die Komplexität O(n)) und der innere Zyklus ebenfalls die Komplexität O(n)) hat, ist die Gesamtkomplexität O(n * n) = O(n²).
Logarithmen
Logarithmische Funktionen wachsen langsamer als polynomische Funktionen, so dass sie in der Praxis im Vergleich zu Polynomen oft vernachlässigbar sind.
Unser Tipp – praktische Anwendung in der Programmierung
Wenn wir einen Algorithmus implementiert haben und seine Komplexität herausfinden möchten, ohne die Zeitkomplexität der einzelnen Codeblöcke zu analysieren, können wir den Algorithmus sequentiell für die Eingabedaten 1 bis N ausführen und die Laufzeit der Routine messen. Aus diesen Messwerten können wir dann in Excel eine Grafik der Abhängigkeit der Eingabedaten (x-Achse) von der Laufzeit des Algorithmus (y-Achse) erstellen. Anhand der Form der Kurve können wir dann grob die Komplexität des Algorithmus bestimmen und je nach Art des Algorithmus sehen, ob es Raum für eine Optimierung gibt.
